Родился в с. Нижние Деревеньки Льговского уезда Курской губернии.
В 1929 г. окончил медицынский ф-т Воронежского университета.
С 1929 г. — зав. Тамбовским окружным, с 1930 г. — Щигровским районным, с 1933г. — Курским городским, с 1934 г. — Курским областным отделами здравоохранения.
В июле 1935 г. — зав. Калининским областным отделом здравоохранения.
Третьяков — один из организаторов возведения больничных городков в Калинине, Ржеве, оборудования первой Калининской областной клинической больницы.
В 1939 — нач. Главного управления курортов и санаториев Наркомздрава СССР.
В 1940–1946 гг. — нарком здравоохранения РСФСР.
Один из организаторов сети эвакогоспиталей для лечения раненых, снабжения фронта консервированной кровью, проведения противоэпидемических мероприятий на освобожденных от противника территорий во время Великой Отечественной войны (1941-1945).
В 1946–1948 гг. — Министр медицинской промышлености СССР.
В 1948–1953 г. — директор ЦНИИ курортологии Министерства здравоохранения СССР.
В 1953–1954 гг. — Министр здравоохранения СССР.
С 1954 г. — нач. Управленияния врачебно-трудовой экспертизы Министерствава социального обеспечения РСФСР.
Соч.:
Меры борьбы с сыпным тифом /А. Ф. Третьяков. — Казань: Татгосиздат, Сектор учеб. пед. литературы, 1943;
Новая форма альфа-терапии — радиоактивные повязки и применение их для лечения больных радикулоневритом: Автореф. дис. канд. мед. наук. М., 1957.